Mục lục. 1. Bìa Tải sách giáo khoa tiếng việt lớp 1 tập 2. 2. Nội dung. 3. Bản xem trước. 4. Tải xuống bản PDF trực tiếp. 5. Phân phối chương trình, Giáo án. Gặp khó khăn khi tải xuống, tải xuống bản full PDF ful HD - Chất lượng cao liên hệ: Hotline/Zalo: 0354103022 Facebook: https Đọc văn bản sau: Một lần đi thăm một thầy giáo lớn tuổi, trong lúc tranh luận về quan điểm sống, một sinh viên đã nói: - Sở dĩ có sự khác biệt là vì thế hệ các thầy sống trong những điều cũ là của một thế giới lạc hậu, ngày nay chúng em được tiếp xúc với những thành tựu khoa học tiên tiến hơn Thậm chí nếu mối quan hệ của bạn đôi khi như một công việc nặng nề, hãy tập trung vào kết quả bạn thu được từ sự đầu tư của mình. 3 Đối xử với nhau một cách tôn trọng. Tôn trọng nhau sẽ giúp bạn và đối tác xây dựng và duy trì mối quan hệ hạnh phúc lâu bền. Dưới đây là một vài cách hiệu quả để thể hiện sự tôn trọng của bạn với người ấy: 1.3 Relationship (Quan hệ) Relationship hay còn gọi là conntector được sử dụng để kết nối giữa các đối tượng với nhau tạo nên bản vẽ Use Case. Có các kiểu quan hệ cơ bản sau: - Association - Generalization - Include - Extend Chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu về các kiểu quan hệ dưới đây. + Quan hệ Association Bối cảnh: là những quan hệ có khả năng àm cho RBTV bị vi phạm. Nội dung: phát biểu bằng ngôn ngữ hình hức (phép tính quan hệ, đại số quan hệ, mã iả,…) Tầm ảnh hưởng: là bảng 2 chiều, xác định ác thao tác ảnh hưởng (+) và thao tác hông ảnh hưởng (-) lên các quan hệ nằm rong bối cảnh. Giáo Quan là Bộ Thánh Di Vật có sẵn ở độ hiếm 3 sao, và 4 sao có thể nhận được từ Kẻ Thù Tinh Anh, Hộp Thánh Vật Thần Bí - Hạng 3, Hộp Thánh Vật Thần Bí - Hạng 2, Thủ Lĩnh, Boss Tuần, và Rương. Toàn bộ Boss Tuần cấp 1 trở lên rơi ra Giáo Quan.2 Thủ Lĩnh rơi ra Giáo Quan:Toàn bộ Kẻ Địch Tinh Anh cấp 1 trở HmtEaLc. Connection timed out Error code 522 2023-06-11 211637 UTC Host Error What happened? The initial connection between Cloudflare's network and the origin web server timed out. As a result, the web page can not be displayed. What can I do? If you're a visitor of this website Please try again in a few minutes. If you're the owner of this website Contact your hosting provider letting them know your web server is not completing requests. An Error 522 means that the request was able to connect to your web server, but that the request didn't finish. The most likely cause is that something on your server is hogging resources. Additional troubleshooting information here. Cloudflare Ray ID 7d5cdf8ca9640a51 • Your IP • Performance & security by Cloudflare ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN QUAN HỆ CÔNG CHÚNGCHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ QUAN HỆ CÔNG CHÚNG1. ĐỊNH NGHĨA VỀ QUAN HỆ CÔNG CHÚNG PRPR là việc quản lí truyền thông nhằm xây dựng, duy trì mối quan hệ tốt đẹp và sự hiểu biết lẫn nhau giữa một tổ chức, một cá nhân với công chúng của họ. Từ đó tạo dựng hình ảnh tốt đẹp, củng cố uy tín, tạo dựng niềm tin, thái độ của công chúng với tổ chức và cá nhân theo hướng có lợi NHỮNG HOẠT ĐỘNG PR CHỦ YẾUHoạch định chiến lược PR của tổ chứcPR nội bộQuan hệ báo chíTổ chức sự kiệnQuản trị khủng hoảngQuan hệ cộng đồng3. VAI TRÒ CỦA PRLà công cụ đắc lực của mọi tổ chức và doanh nghiệp trong việc tạo dựng hình ảnh của mình, tranh thủ tinh cảm của công chúng hướng tới mục tiêu chiến lược lâu bản chất của PR là thiết lập , duy trì, bảo vệ mqh tốt đẹp, uy tín, danh tiếng của cá nhân , tổ chức với bộ phận công chúng mà họ theo đuổi => sử dụng PR như 1 vũ khí lợi hại và hiệu quả để xác định, xây dựng lòng tin và tình cảm.PR quảng bá cho công chúng về hình ảnh của tổ chức, về các sản phẩm hàng hóa dịch vụ mà họ kinh doanh, lĩnh vực mà tổ chức hoạt động => có vai trò truyền thông rất cao, nổi trội hơn so với các công cụ truyền thông khác quảng cáo, khuyến mại,…Góp phân thiết lập tinh cảm và xây dựng lòng tin của công chúng với tổ chức; khắc phục sự hiểu lầm hoặc những định kiến, dư luận bất lợi cho tổ chức; xây dựng mqh tốt đẹp trong nội bộ tổ chức và tạo ra tình cảm tốt đẹp của dư luận xã hội qua các hoạt động quan hệ cộng đồng…PR đóng vai trò đặc biệt trong việc xây dựng thương hiệu của mọt tổ chức và cá bản chất của việc xây dựng thương hiệu là xây dựng lòng tin, khắc họa hình ảnh của mình vào tâmtrí của công chúng, khách hàng. Và để có thương hiệu mạnh cần phải có các công cụ truyền chi phí cho quảng cáo ngày càng gia tang, thông tin do quảng cáo mang lại ngày càng khó trong việc tạo dựng và củng cố niềm tin cho khách hàng, trong khi đó PR là công cụ truyền thông không mang tính thương mại, các bài viết của giới truyền thông dễ gây cảm tình và dễ đc công chúng chấp nhận hơn các công cụ truyền thông khác, Vì vậy PR là công cụ để xây dựng thương hiệu, tạo hiệu ứng tốt tới công chúng mục tiêu.Thông qua hoạt động PR, các tổ chức và doanh nghiệp xây dựng được văn hóa của đơn vị dựng văn hóa doanh nghiệp thực chất là tạo dựng nên những giá trị truyền thống đẹp đẽ mang bản sắc đặc trưng của DN và tổ chức Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3 Quan hệ Relations Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3 Quan hệ Relations", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Tài liệu đính kèmbai_giang_toan_ro Nội dung text Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3 Quan hệ RelationsTOÁN RỜI RẠC Discrete MathematicsChương 3 Quan hệ Relations1. Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa Quan hệ R 2 ngôi giữa 2 tập hợp A và B là một tập con của A B. Một quan hệ giữa A và A gọi là một quan hệ trên A ▪ Nếu a,b R, ta viết aRb. Ví dụ A=Tập các quận-huyện. B=Tập các tỉnh-TP Quan hệ R  “Quận/Huyện thuộc tỉnh” giữa 2 tập A và B là tập của A B1. Một số khái niệm cơ bản Chắng hạn R={Long Khánh,Đồng Nai,Gò Vấp, Tp. HCM, Bình Chánh, Thành, Đồng Nai} Quan hệ này có thể trình bày ở dạng bảng Quận-Huyện Tỉnh-TP Long Khánh Đồng Nai Gò Vấp Bình Chánh Long Thành Đồng Nai1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ Cho 2 tập hợp A={các sinh viên} và B={các môn học}, Chẳng hạn A={sv1, sv2, sv3, sv4} B={Toán RR, LTM1, PPsố, Triết} Xét quan hệ R ” Đăng ký môn học” giữa A và B được định nghĩa x Ay B, xRy “sinh viên x có đăng ký môn học y” ✓ Nếu sv2 đăng ký môn PPSố, thì sv2, PPSố R ✓ Nếu sv1 đăng ký môn Toán RR, thì sv1,toán RR R ✓ Nếu sv1 không đăng ký môn Triết, thì sv1,Triết R ✓ ,1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ Trên tập L ={các đường thẳng trong mặt phẳng} Xét quan hệ R”Song song” được định nghĩa bởi L1,L2 L , L1 R L2 L1//L2 Ví dụ Trên tập S là tập các đa giác trong mặt phẳng. Quan hệ R”đồng dạng” được định nghĩa như sau a,b S, a R b “a và b đồng dạng” Ví dụ Trên tập số nguyên Z, cho trước số n>1. Xét quan hệ a R b a – b chia hết cho n a và b có cùng số dư khi chia cho n1. Một số khái niệm cơ bản Quan hệ này gọi là quan hệ đồng dư modulo n. Kí hiệu ab mod n. Ví dụ như 18mod 7; 311mod 8, Có thể biễu diễn quan hệ 2 ngôi bằng biểu đồ Ví dụ Cho A={4,5,6},B={1,2,3} và R={4,1,4,2,5,2,6,3} B A B R 3 • Hoặc 4 • •1 2 • • 5 • •2 1 • 6 • •3 4 5 6 A1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ Cho tập A={2,4,6} và B={a,b,c,d} a Có bao nhiêu quan hệ khác nhau có thể có giữa A và B? b Có bao nhiêu quan hệ có chứa cặp 2,b? c Có bao nhiêu quan hệ không chứa cặp 1,a và 3,b? Giải a Ta có A B=A B=3 4=12 Số tập con khác nhau của A B là 212. Mà mỗi tập con của A B là một quan hệ. vậy số quan hệ khác nhau có thể có giữa A và B là 212. b Số quan hệ có chứa cặp 2,b?1. Một số khái niệm cơ bản b Gọi X là một quan hệ thoả điều điện đã cho nghĩa là X có chưá ít nhất là 1 cặp 2,b. X có dạng X = {2,b}  Y với Y  A B \{2,b} Có 1 cách chọn tập {2,b} Mỗi cách chọn {2,b} có 2A B\{2,b} = 211. Theo nguyên lý nhân, số quan hệ X có thể tìm được là 1 211=211. c Tính số quan hệ giữa A và B không chứa 1,a và 3,b? bài tập d Có bao nhiêu quan hệ có đúng 5 cặp a,b với a A và b B? bài tập1. Một số khái niệm cơ bản tt Định nghĩa Một quan hệ R có n ngôi trên các tập A1,A2, ,An là một tập con A1 A2 An. Các tập A1, A2, , An gọi là các miền của R. Ví dụ Cho A1 Tập chuyến các tàu , A2 Tập các nhà ga A3={0,1,2, 23} Giờ trong ngày A4={0,1,2, 59} Phút trong giờ Xét quan hệ R 4 ngôi gồm các bộ có dạng x, y, z, t cho biết lịch tàu đến tại mỗi ga, với x số hiệu tàu, y ga, z giờ, t phút. Nếu tàu S1 đến ga Nha trang lúc 13h30, thì S1, Nha Trang ,13,30 R Nếu tàu S3 đến ga Sài gòn lúc 4h30 thì S3,Saì Gòn,4,30 RMột số khái niệm cơ bản tt Nếu tàu S1 đến ga Tuy Hòa lúc 17h45 thì S1,Tuy Hòa,17,45 R Nếu tàu LH2 đến ga Bình Định lúc 4h00 thì LH2,Bình Định,4,0 R Có thể bố trí các phần tử của quan hệ ở dạng bảng Số Tàu Ga Giờ Phút Mỗi dòng là S1 Nha Trang 13 30 một bộ của R S3 Sài Gòn 4 40 S1 Tuy Hòa 17 45 LH2 Bình Định 4 001. Một số khái niệm cơ bản tt Định nghĩa ▪ Cho trước các tập A1, A2, , An. Ánh xạ chiếu lên các thành phần thứ i1,i2, , im m n được định nghĩa A A A → A A A i1 ,i2 , , im 1 2 n i1 i2 im a a a a a a 1 2 n i1 i2 im ▪ Khi đó, với R là một quan hệ trên A1, A2, , An, thì R i1 ,i2 , ,im Gọi là quan hệ chiếu1. Một số khái niệm cơ bản tt Ví dụ Cho A1={Số hiệu các chuyến tàu}; A2={các ga} ; A3={Giờ đến}={0,1,2, ,23}; A4={phút}={0,1,2, , 59} và quan hệ R=“Lịch tàu” giữa A1, A2, A3. Nếu chỉ muốn biết danh sách các tàu và ga đến không cần quan tâm đến thời điểm, ta xét quan hệ chiếu SoTau ,Ga R R Số Tàu Ga Giờ Phút Số Tàu Ga S1 Nha Trang 13 30 S1 Nha Trang S3 Sài Gòn 4 40 S3 Sài Gòn S1 Tuy Hòa 17 45 S1 Tuy Hòa LH2 Bình Định 4 00 LH2 Bình Định2. Một số tính chất của quan hệ Một quan hệ R trên A có thể có các tính chất sau đây a Tính phản xạ reflexivity R phản xạ reflexive relation a A, aRa A Ví dụ Cho A={1,2,3,4,5}, R 5 • • Một quan hệ trên A. 4 • • R={1,1,2,2,2,3,3,3,3,4, 3,5,4,2 ,4,4, 5,1, 5,5} 3 • • 2 • • R có tính phản xạ. 1 • • 1 2 3 4 5 A2. Một số tính chất của quan hệ tt Ví dụ Cho tập A = {1,2,3,4} và quan hệ R trên A R= {1,1,2,1, 3,1, 3,2, 4,4, {3,3} Ta thấy 2 A nhưng 2,2 R2 nên R2 không có tính phản xạ. Ví dụ Cho tập A={Người}, xét quan hệ R trên A được định nghĩa x,y A, xRy “x thân quen với y” Ta có “x A, x thân quen với x” hiển nhiên Hay x A, xRx nên R có tính phản xạ Ví dụ Quan hệ “ “ trên R có tính phản xạ. Vì x R, x x2. Một số tính chất của quan hệ b Tính đối xứng Symmetry R đối xứng symmetric relation a,b A, aRb bRa Ví dụ A={1,2,3}, xét quan hệ trên A R3 = {1,1, 3,2, 1,3, 3,1, 2,3} là quan hệ đối xứng R4 = {2,1, 1,2, 3,2, 1,3, 3,1, 3,3} là quan hệ không đối xứng2. Một số tính chất của quan hệ Ví dụ Chọ tập A={Con người}, Xét quan hệ R  “Quen biết” được định nghĩa như sau x,y A, xRy “x quen biết với y” Quan hệ này có tính phản xạ, và đối xứng Ví dụ Xét quan hệ R“Láng giềng” trên tập T={các tỉnh-Thành phố} được định nghĩa x,y T, xRy “x láng giềng với y” Quan hệ “Láng giềng” cũng có tính đối xứng. Ví dụ hệ “=“ trên tập A bất kỳ quan hệ có tính đối xứng Ví dụ Quan hệ “ “ trên R không có tính đối Một số tính chất của quan hệ c Tính phản xứng Antisymmetry R phản xứng Antisymmetric relation a,b A, aRb^bRa a=b Ví dụ Quan hệ “ ” trên tập số thực R, có tính phản xứng. Vì x,y R, x y  y x x= y Ví dụ Cho tập A={1,2,3,4} và quan hệ R trên A là R1={1,1,2,3,2,2,4,3,4,4} R1 không có tính phản xạ, nhưng có tính phản xứng. R2={1,1,3,3,4,4} Đối xứng, phản xứng2. Một số tính chất của quan hệ d Tính bắt cầu Transitivity R có tính bắt cầu transitive relation x,y,z A xRy  yRz xRz Ví dụ Các quan hệ “=“, “ ” trên R là các quan hệ có tính bắt cầu Quan hệ ” ” trên R không có tính bắt cầu? Quan hệ “//” trên L là quan hệ có tính bắt cầu. Quan hệ “ ⊥” trên L là quan hệ không có tính bắt cầu. Quan hệ đồng dư modulo n trên Z là quan hệ có tính bắt Một số tính chất của quan hệ d Tính bắt cầu Transitive R có tính bắt cầu x,y,z A xRy  yRz xRz Ví dụ Các quan hệ “=“, “ ” trên R là các quan hệ có tính bắt cầu Quan hệ ” ” trên R không có tính bắt cầu? Quan hệ “//” trên L là quan hệ có tính bắt cầu. Quan hệ “ ⊥” trên L là quan hệ không có tính bắt cầu. Quan hệ đồng dư modulo n trên Z là quan hệ có tính bắt Một số tính chất của quan hệ tt Ví dụ Xét quan hệ đồng dư modulo n trên z. a,b Z, abmod n a-b chia hết cho n. Nghĩa là a, b có cùng số dư khi chia cho n ▪ Ta có a Z, a-a = 0 chia hết cho n. Hay  a Z, aamod n Vậy mod n có tính phản xạ. ▪ a,b Z, abmod n a-b chia hết cho n a-b=kn với k Z b-a=-kn b-a chia hết cho n bamod n Vậy mod n có tính đối xứng ▪ a,b,c Z, abmod n và bcmod n a – b = k1n và b-c = k2n với k1, k2 z a-c = a-b+b-c=k1+k2n hay a-c chia hết cho n. Hay acmod n . vậy mod n có tính bắt cầu2. Một số tính chất của quan hệ Ví dụ A={Các tỉnh/Thành phố} R “Láng giềng” xem ví dụ trước R có tính phản xạ, đối xứng, nhưng không có tính phản xứng, và không có tính bắt cầu. Ví dụ A={Người}; R”Quen biết” xem ví dụ trước R Không có tính bắt cầu Ví dụ A={Con người}, Xét quan hệ R”Anh em” được định nghĩa x,y A, xRy x có cùng cha mẹ với y R có tính phản xạ, đối xứng và bắt Biểu diễn quan hệ bằng ma trận Một quan hệ trên tập hữu hạn A={a1, a2, , an} có thể biểu diễn bằng ma trận vuông 0-1 cấp n được định nghĩa RA=rij với rij bằng 1 nếu ai,aj R và bằng 0 nếu ai,aj R Ví dụ Cho A={1,2,3,4,5,6} , quan hệ được định nghĩa x,y A, x R y “x cùng tính chẵn lẻ với y” 1 2 3 4 5 6 1 1 0 1 0 1 0 R={1,1,1,3, 1,5, 2,2,2,4, 2,6, 2 0 1 0 1 0 1 3,1, 3,3, 3,5, 4,2, 4,4, 4,6, 3 1 0 1 0 1 0 5,1, 5,3, 5,5, 6,2, 6,4, 6,6} 4 0 1 0 1 0 1 5 1 0 1 0 1 0 6 0 1 0 1 0 13. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận Ví dụ Cho E={a,b,c}, quan hệ bao hàm  trên tập PE . A,B PE, ARB A  B  {a} {b} {c} {a,b} {a,c}{b,c} {a,b,c}  1 1 1 1 1 1 1 1 { a } 0 1 0 0 1 1 0 1 {b } 0 0 1 0 1 0 1 1 { c } 0 0 0 1 0 1 1 1 { a,b } 0 0 0 0 1 0 0 1 { a,c } 0 0 0 0 0 1 0 1 {b,c } 0 0 0 0 0 0 1 1 { a,b,c } 0 0 0 0 0 0 0 13. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận Nhận biết quan hệ có tính phản xạ, phản xứng, đối xứng qua ma trận biểu diễn quan hệ4. Quan hệ tương đương Định nghĩa Quan hệ R trên tập hợp A gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa các tính chất Phản xạ, đối xứng và bắc cầu Ví dụ Xét quan hệ R trên tập số nguyên z được định nghĩa m,n z, mRn “m cùng tính chất chẵn lẻ với n” Ta có ▪ m z , m cùng tính chẵn lẻ với chính nó. Vậy R phản xạ. ▪ m,n z, mRn “m cùng tính chẳn lẻ với n” “n cùng tính chẳn lẻ với m” nRm. Vậy R đối xứng. ▪ m,n,k z mRn “m cùng tính chẳn lẻ với n” m-n=2r k z4. Quan hệ tương đương tt ▪ nRk “n cùng tính chẳn lẻ với k” n-k=2t t z m-k = m-n+n-k=2r+t “m và k vùng tính chẵn lẻ” mRk. Có tính bắt cầu . Kết luận R phản xạ, đối xứng và bắc cầu nên R là quan hệ tương đương trên Z. Ví dụ Quan hệ R trên tập S gồm các chuỗi kí tự được định nghĩa s1,s2 S, s1Rs2 lens1=lens2. là quan hệ tương Quan hệ tương đương Ví dụ A={Con người}, Quan hệ R trên A là “Quen biết” không phải là quan hệ tương đương. Vì không có tính bắt cầu. Ví dụ Quan hệ “song song” trên tập L các đường thẳng trong mặt phẳng là quan hệ tương đương. C/m L L, L//L hiển nhiên. Vậy R phản xạ L1,L2 L, L1RL2 L1//L2 L2//L1 hay L2RL1. Vậy R đối xứng L1,L2,L3 L, L1//L2 L2//L3 L1//L3. Vậy R bắt cầu. Kết luận “Song song” là quan hệ tương đương trên L4. Quan hệ tương đương Ví dụ Quan hệ trên Z+ không là quan hệ tương đương vì không có tính đối xứng. Ví dụ hệ đồng dư modulo n trên tập số nguyên Z là quan hệ tương đương. Chứng minh?4. Quan hệ tương đương tt Định nghĩa tương đương Cho R là một quan hệ tương đương trên A và x A, lớp tương đương chứa x là tập con của A gồm những phần tử có quan hệ R với x. Nói cách khác Lớp tương đương chứa x là tập con của A được định nghĩa [x]R={y A/yRx} Ví dụ Trên z định nghĩa quan hệ R a,b z, aRb “a cùng tính chẵn lẻ với b” R là quan hệ tương đương xem ví dụ trước Lớp tương đương chứa 2 là [2]={Các số chẵn} = { -4, -2, 0, 2, 4, } Lớp tương đương chứa 1 là [1] ={Các số lẻ}= { -5, -3, -1, 1, 3,5, }4. Quan hệ tương đương tt Ví dụ Quan hệ mod 4 trên Z Có 4 lớp tương đương Z4={[0],[1],[2],[3]} [0]={n Z/ n chia hết cho 4}={ -8,-4,0,4,8, }={4k/k Z} [1]={n Z/ n chia cho 4 dư 1}={ ,-7,-3,1,5,9, }={4k+1/k Z} [2]={n Z/ n chia cho 4 dư 2}={ ,-6,-2,2,6,10, }={4k+2/k Z} [3]={n Z/ n chia cho 4 dư 3}={ ,-5,-1,3,7,11, }={4k+3/k Z} Tổng quát Quan hệ mod n trên Z có n lớp tương đương. Zn={[0],[1], ,[n-1]}4. Quan hệ tương đương tt Định lý Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A. Ta có i x A, x [x] ii x,y A, xRy [x]=[y] iii x,y A, [x][y]≠  [x]=[y] C/m? i R phản xạ nên x A, xRx x [x] theo định nghĩa ii mà R đối xứng nên xRy yRx y [x]Lớp tương đương và các phân hoạch Định nghĩa Cho tập hợp S và A1, A2, , An là các tập con của S thỏa các tính chất Ai  i {1,2, ,n} AiAj =  i,j {1,2, ,n}, i j A1A2 An = S Thì A1, A2, , An gọi là một phân hoạch của S A6 Một phân hoạch A1 A3 A5 A7 Của S thành 7 S Tập con A2 A4Lớp tương đương và các phân hoạch Ví dụ Cho S={0,1,2,3,4,5,6,7} và A={1,3,5,7}, B={2,4,6}, C={0}. Ta có A , B  và C  AB=; AC= ; BC= ABC=S Vậy A, B, C là một phân hoạch của SLớp tương đương và các phân hoạch tt Định lý Cho R là một quan hệ tương đương trên A. Khi đó các lớp tương đương của R sẽ tạo nên một phân hoạch của A. Ngược lại, nếu A1, A2, , An là một phân hoạch của A thì tồn tại quan hệ tương đương R sao cho {Ai} là tập các lớp tương đương của R. Ví dụ Quan hệ “cùng tính chẵn lẻ” trên tập số nguyên Z xem ví dụ trước phân hoạch Z thành 2 lớp tương đương [1]={ ,-5,-3,-1,1,3,5, } Tập số lẻ [2]={ ,-4,-2,-0,2,4,6, } Z Tập số chẵnLớp tương đương và các phân hoạch tt Ví dụ Trên z, tập các lớp tương đương của quan hệ đồng dư modulo 4 z4 ={[0], [1], [2],[3]} là một phân hoạch của z. [0] [1] [3] [2] zPhân hoạch Ví dụ Cho tập A={a1, a2, a3, a4, a5, a6} và các tập con của A E1={a1, a3}, E2={a2,a4, a5}, E3={ a6}. Hãy tìm một quan hệ tương đương trên A nhận E1, E2, E3 làm các lớp tương đương? Giải Ta có {E1, E2, E3}là một phân hoạch của A. Theo định lý tồn tại quan một hệ tương đương trên A nhận E1, E2, E3 làm các lớp tương đương. Gọi R là quan hệ tương đương cần tìm. Do R có tính phản xạ nên R có dạng R={a1, a1, a2, a2, a3, a3,a4, a4,a5, a5, a6, a6} X E1 là một lớp tương đương của R nên R phải có chứa các cặp a1,a3, a3,a1 E2 là một lớp tương đương của R, nên R phải có chứa các cặp a2,a4, a4,a2, a2,a5, a5,a2, a4, a5, a5,a4 Vậy R cần tìm có thể là R={a1, a1, a2, a2, a3, a3,a4, a4,a5, a5, a6, a6}  {a1,a3, a3,a1, a2,a4, a4,a2, a2,a5, a5,a2, a4, a5, a5,a4}5. Quan hệ thứ tự Định nghĩa Quan hệ R trên tập A gọi là quan hệ thứ tự khi và chỉ khi R có tính Phản xạ, phản xứng và bắt cầu. Ghi chú Thường kí hiệu quan hệ thứ tự bởi < và A,< gọi là tập có thứ tự. Ví dụ Cho tập A={a1,a2, a3, a4, a5, a6, a7}, Xét các quan hệ R1={a1, a1, a2,a2, a3,a3,a4,a4,a5,a5,a6,a6,a7,a7, a1,a3, a3, a5,a1,a5, a5,a7, a3,a7, a1,a7} R2={a1, a1, a2,a2, a3,a3,a4,a4,a5,a5,a6,a6,a7,a7, a1,a4, a4, a6,a1,a3, a4,a1, a3,a7, a1,a7} R1 có phải là một quan hệ thứ tự trên A? R2 có phải là một quan hệ thứ tự trên A?Quan hệ thứ tự tiếp theo ▪ Ta thấy a A, aR1a. nên R1 phản xạ a,b A, aR1b a=b nên R1 phản xứng a,b,c A, aR1b  bR1c aR1c nên R1 bắt cầu Vậy R1 là một quan hệ thứ tự trên A ▪ R2 không phải là quan hệ thứ tự vì không phản xứng Ví dụ Quan hệ so sánh nhỏ hơn hay bằng thông thường trên R trên tập số thực R là một quan hệ thứ tự. Tập R, là tập có thứ hệ thứ tự tiếp theo Ví dụ tập PE={các tập con của E}, xét quan hệ R ARB A  B R là quan hệ thứ tự trên P E. c/m? c/m A PE, AA ARA. Vậy R phản xạ A,B PE, AB BA A=B. Vậy R phản xứng A,B,C PE, AB BC A C. Vậy R bắt cầu KL  là một thứ tự trên trên PE , PE,  là tập có thứ tựQuan hệ thứ tự tiếp theo Ví dụ Trên tập số nguyên dương Z+, xét quan hệ chia hết như sau a,b Z+ , ab b chia hết cho a Chứng minh là một thứ tự trên Z+? Gỉải a Z+, aa hiển nhiên. Vậy có tính phản xạ ??????????Quan hệ thứ tự tiếp theo Định nghĩa Cho tập có thứ tự A,< và x,y A. i Nếu x

điều giáo quan hệ tập 1